文／林秋華
●畢氏學派核心思想 宇宙可用數字解釋
橫溢的數學家，同時也是深諳音律的音樂理論家──畢達哥拉斯（約西元前572年至前497年），以畫時代的發現「畢氏定理」（勾股定理）聞名於世，當時畢達哥拉斯甚至宰了百頭牛慶祝，因此畢氏定理又稱「百牛定理」。
他不僅在數學領域取得卓越的成就，更創立了影響深遠的畢達哥拉斯學派。這個學派的核心思想是「萬物皆數」，他們相信宇宙的本質和運行規律都可以透過數字來解釋。因此，畢達哥拉斯學派將數學的奧秘知識視為學派的中心，並對加入者有著嚴格的要求，包括必須放棄個人財產、遵守嚴格的戒律，以及終身奉行素食主義。
然而，在畢達哥拉斯的時代，他所認知的「數」僅限於有理數。他堅信宇宙中所有的量都是可以公度量的，也就是說，任何兩個量之間的比值都可以表示為兩個整數的比。但事實果真如此嗎？這個看似完美的數學體系，是否藏著甚麼未知的世界呢？
●希帕索斯提無理數 看似簡單意義深遠
在畢達哥拉斯學派蓬勃發展的時期，一次學派內部的聚會中，一位才華橫溢的弟子，名叫希帕索斯，提出了這樣一個看似簡單卻意義深遠的幾何問題：假設一個等腰直角三角形，它的兩條直角邊長度都恰好是1個單位，那麼，這個三角形的斜邊長度究竟是多少呢？當時，他們只能得到以下結果：(見圖2)
學派成員們紛紛嘗試運用他們所熟知的數學知識來解答這個問題。然而，令人困惑的是，無論他們如何努力，都無法找到一個可以用「當時」他們所理解的「數」──也就是有理數（可以表示為兩個整數之比的數）來精確表達斜邊長度。希帕索斯提出這個偉大的發現，但學派內的門徒無法接受這件事，相傳他們無情的殺害了希帕索斯，想掩飾這個發現。
●歐幾里得邏輯推理 構建新的數學世界
這個看似微小的幾何問題，卻造成了第一次的數學危機，橫亙在畢達哥拉斯學派堅信的數學真理面前，預示著一場數學思想上的深刻變革。
在畢達哥拉斯學派之後，古希臘另一位偉大的哲學家柏拉圖，在他的著名對話錄《米諾篇》中，透過蘇格拉底引導一位未受教育的奴隸男孩進行一場啟發性的對話，探討了「如何建構一個面積為原有正方形兩倍的新正方形」的問題，簡單說就是是否有一個正方形面積為2？
柏拉圖藉此闡述了他深刻的數學哲學觀點，他認為數學的本質是一種心靈的活動，是內在理性的展現。更重要的是，透過這個幾何問題的引導，柏拉圖實際上揭示了√2這個數的存在（就是上述的c），並證明它無法表示成兩個整數的比值，從而證實了畢達哥拉斯學派所堅信的「所有數皆可公度量」的觀點並非全然正確。後世將這種無法表示為分數的數定義為「無理數」，無理數的出現才完整了數的連續性。
面對畢達哥拉斯學派所引發的數學史上第一次危機──無理數的發現，動搖了他們「萬物皆數」的根基。古希臘數學家歐幾里得採取了一種截然不同的研究方法。他另闢蹊徑，摒棄了畢達哥拉斯學派以神秘主義為中心的思想，轉而建立了一套嚴謹的邏輯體系。歐幾里得以明確的公設、公理和定義作為邏輯推理的起點，通過嚴密的演繹和證明方式來構建新的數學世界，這有效地回應了當時的數學危機。儘管後來的數學家們逐漸接受了無理數的存在，但這場由無理數引發的數學基礎問題，其深遠的影響一直持續到19世紀才得以完全解決，顯示數學界對數的概念和理解經歷了漫長而深刻的發展。
儘管如此，在浩瀚的數學領域中，最偉大的發現仍然被認為是畢達哥拉斯定理。這個定理堪稱數學史上最輝煌的成就之一，它精確地揭示了任何直角三角形三邊長之間的關係：兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。在畢達哥拉斯的時代，人們已經發現了滿足這個定理的整數解，例如著名的（3、4、5）就是其中一組邊長，這樣的整數解被稱為畢達哥拉斯數（或勾股數）。令人驚嘆的是，畢達哥拉斯數存在著無窮多組整數解，而對於畢達哥拉斯定理本身的證明方法更是多達400多種，這充分展現了這個定理的迷人之處。而畢氏定理更是經常出現在我們的生活之中，以下來看看幾個生活中的應用。
●應用1 /知道壘包距離 就知對角線距離
想像一下，你正站在一個綠意盎然的棒球場上，陽光灑落，準備見證一場熱血沸騰的比賽。仔細瞧瞧那四個壘包，它們就像是堅守崗位的守衛，彼此之間形成一個完美的直角！只要知道壘包之間的固定距離（通常是90英尺），運用畢氏定理（a2+b2=c2），你就能輕鬆算出對角線的距離！這就像解開一個有趣的數學謎題，讓你更了解棒球場上的空間奧秘。
●應用2／螢幕對角線長度 能算最佳觀影位置
各位影迷朋友，有沒有好奇過，進了黑漆漆的電影院，到底該挑哪個位置，才能讓眼睛享受一場最棒的視覺饗宴呢？今天就讓我們用一點點「畢氏魔法」，找到電影院內的最佳觀看位置！
假設電影院內眼前那塊巨大的銀幕，寬度有16公尺，高度也有9公尺，這時候透過畢氏定理，我們可以算出這塊螢幕的「對角線長度」大約是18.4公尺！不過，這還不是最佳觀看距離喔，根據電影界的黃金法則，最舒適的觀賞距離大約是對角線長度的1.5倍到2倍。所以，「最佳座位」很可能落在距離螢幕大約27.6公尺到36.8公尺的範圍內！
●應用3／無障礙坡道要多長 畢氏定理精確推算
無障礙空間已經是建築規畫必需條件之一，為了讓輪椅使用者也能輕鬆抵達目的地，我們需要建造一座平緩的無障礙坡道。假設無障礙坡道的高度需要抬升1.2公尺，而為了符合安全與舒適的規範，它的水平延伸長度則設計為4公尺。這時候，畢氏定理就能派上大用場，成為施工師傅的得力助手！
坡道的「高度」和「水平長度」，就像是一個直角三角形的兩條直角邊，而我們真正需要鋪設材料的「坡道長度」，就是這個三角形的斜邊。運用畢氏定理（a2+b2=c2），我們可以精確地計算出這條坡道的實際長度：
1.22+42=c2
1.44+16=c2
17.44=c2
c≈4.18
透過計算，施工師傅就能清楚知道，建造這條無障礙坡道所需的材料長度大約是4.18公尺。這不僅能確保備料的精確性，避免浪費，更能讓施工過程更加順利有效率，最終打造出一條安全又實用的友善通道。畢氏定理在這個實際應用中，展現了它在工程和生活中的價值。
●應用4／梯子多長才安全 知牆高度就可算
工地裡，畢氏定理也能發揮功效。假設一位油漆工需要爬上一個高度為3公尺的牆壁進行作業，為了安全起見，梯子底部與牆壁之間需要保持一定的安全距離，假設這個安全距離是1公尺。那這把梯子至少需要多長，才能安全地接觸到牆壁的頂端？顯而易見，牆壁的高度、梯子底部與牆壁的距離，以及梯子的長度構成一個直角三角形，梯子的長度就是斜邊。透過畢氏定理：
（牆壁高度）2+（梯子底部與牆壁的距離）2=（梯子長度）2
32+12=（梯子長度）2
計算梯子長度= 公尺≈3.16公尺
因此，這位油漆工至少需要一把長約3.16公尺的梯子，才能在保持安全距離的情況下接觸到3公尺高的牆壁頂端。雖然大部分的油漆工是根據經驗法則選用梯子，但有了畢氏定理的驗算檢核，更能確保施工安全。
原文出自《好讀周報》822期
